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なぜマイナスかけるマイナスはプラスになるのか

6月 27th, 2006

ちょっと論理を思考する上でわかりやすい&おもしろいと感じたことを書きたくなった。
知ってる人は知ってるかも。

なぜマイナス×マイナス=プラスになるのか。。。

論ずる上での条件は以下の三つ。
・どの数を0にかけてもその結果は0になる(n×0=0)
・分配法則((A+B)×C=A×C+B×C)
・1にどの数をかけても結果はかけた値と等しくなる(n×1=n)

ちなみにこの記号∵は「なぜならば」という意味。

まず
   1-1=0
これは自明。1から1を引くと0になるのは明らか。
次に両辺に-1をかける。
   ⇔(-1)×(1-1)=(-1)×0
両辺に同じ操作を加えてもイコール関係は崩れない。
さらに、どの数を0にかけてもその結果は0になるので、
   ⇔(-1)×(1-1)=0 (∵(-1)×0=0)
分配法則により
   ⇔(-1)×1+(-1)×(-1)=0
1にどの数をかけても結果はかけた値と等しくなるので
   ⇔-1+(-1)×(-1)=0 (∵(-1)×1=-1)
そして両辺に1を足すと
   ⇔1-1+(-1)×(-1)=1
   ⇔(-1)×(-1)=1
よって題意は示された。

まとめる。

 1-1=0
⇔(-1)×(1-1)=(-1)×0
⇔(-1)×(1-1)=0
⇔(-1)×1+(-1)×(-1)=0
⇔-1+(-1)×(-1)=0
⇔1-1+(-1)×(-1)=1
⇔(-1)×(-1)=1

と、すごい理系っぽい。
昔誰かに教わった気がするのだ。駿台の山爺だっけか。

まあタイトルは哲学めいたものであるが、そこから倫理学とかに持っていくわけでもない、ただの数学記事でした。

これを元に「なぜ人を殺してはいけないか?」の論理的証明も考えてみるのもまた一興。

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